求导法则参考
本页是求导法则的完全参考手册，覆盖从导数定义到高阶应用的所有核心法则。每条法则附带为什么成立（证明推导）和谁发现的（历史背景），帮助你真正理解微积分的精髓。
1. 什么是导数
导数衡量的是函数的瞬时变化率。如果 f(x) 描述一辆车在时刻 x 的位置，那么 f'(x) 就是该时刻的速度。
这个极限定义告诉我们：导数是"割线斜率"趋向"切线斜率"的极限值。当 h 趋近于 0 时，两点间的平均变化率逼近该点的瞬时变化率。
导数的概念由艾萨克·牛顿（Isaac Newton, 1665 年）和戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz, 1684 年）独立发现。牛顿称之为"流数"（fluxions），用于描述运动和变化；莱布尼茨则发展出"微分"（differential）的概念，创建了我们今天仍在使用的 dy/dx 记号。二人曾因优先权问题发生旷日持久的争论，但现代数学界公认两人独立完成了这一发现。
三种记号
| 记号 | 发明者 | 写法 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 莱布尼茨记号 | 莱布尼茨 (1684) | dy/dx | 链式法则、隐函数求导；直观展示"微小变化之比" |
| 拉格朗日记号 | 拉格朗日 (1770s) | f'(x) | 一般的函数分析；简洁紧凑 |
| 牛顿记号 | 牛顿 (1665) | ẏ（y 上加点） | 物理学，尤其是描述对时间的导数 |
为什么存在不同的记号？每种记号在特定场景下更方便。莱布尼茨记号在链式法则中可以像分数一样"约分"（dy/dx = dy/du · du/dx），极其直观；拉格朗日记号在写多阶导数时更简洁（f''(x) 比 d²y/dx² 短）；牛顿的点记号在物理中广泛用于对时间求导（ẋ 表示速度，ẍ 表示加速度）。
2. 基本法则
2.1 常数法则
为什么：常数没有变化，变化率自然为零。从定义出发：lim[h→0] (c - c)/h = lim[h→0] 0/h = 0。
2.2 幂函数法则
f(x+h) = (x+h)ⁿ = xⁿ + nxⁿ⁻¹h + (n(n-1)/2)xⁿ⁻²h² + ... + hⁿ
f(x+h) - f(x) = nxⁿ⁻¹h + (含 h² 及更高次项)
除以 h：nxⁿ⁻¹ + (含 h 的项)
当 h → 0 时，所有含 h 的项消失，剩余 nxⁿ⁻¹。
2.3 加减法则（和差法则）
为什么：极限的线性性。由于极限运算满足 lim(A+B) = lim A + lim B，因此导数（本质上是极限）也满足可加性。
2.4 常数倍法则
为什么：同样源于极限的线性性。常数可以从极限中提出：lim[h→0] c·(f(x+h)-f(x))/h = c · lim[h→0] (f(x+h)-f(x))/h。
完整基本法则表
| 法则 | 公式 | 示例 |
|---|---|---|
| 常数法则 | d/dx [c] = 0 | d/dx [5] = 0 |
| 幂函数法则 | d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹ | d/dx [x³] = 3x² |
| 常数倍法则 | d/dx [cf] = cf' | d/dx [5x²] = 10x |
| 加减法则 | d/dx [f ± g] = f' ± g' | d/dx [x² + x] = 2x + 1 |
3. 乘积法则与商法则
3.1 乘积法则
d/dx [fg] = lim[h→0] (f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)) / h
关键步骤：加上并减去 f(x+h)g(x)：
= lim[h→0] (f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)) / h
= lim[h→0] [ f(x+h) · (g(x+h)-g(x))/h + g(x) · (f(x+h)-f(x))/h ]
= f(x) · g'(x) + g(x) · f'(x)
为什么要加减 f(x+h)g(x)：这个技巧把一个"两个因子同时变化"的问题拆成"一个因子变化、另一个固定"的两部分。
3.2 商法则
d/dx [f · g⁻¹] = f' · g⁻¹ + f · (-1) · g⁻² · g'
= f'/g - fg'/(g²)
= (f'g - fg') / g²
记忆口诀："下乘上导减上乘下导，除以下的平方"——这里"上"指分子 f，"下"指分母 g。
4. 链式法则 — 最重要的法则
用莱布尼茨记号表示：dy/dx = (dy/du) · (du/dx)，其中 u = g(x)。
假设 y 取决于 u，u 取决于 x。如果 x 变化一点点 Δx：
· u 变化 Δu ≈ (du/dx) · Δx
· y 变化 Δy ≈ (dy/du) · Δu = (dy/du) · (du/dx) · Δx
因此 Δy/Δx ≈ (dy/du) · (du/dx)。在极限下这就是准确的等式。
直觉：如果温度以 3°C/小时上升，而金属膨胀率是 0.01 mm/°C，那么金属以 0.03 mm/小时的速率膨胀。变化率相乘！
示例：从简单到复杂
外层函数 sin(u)，内层函数 u = x²
外层函数 u⁵，内层函数 u = 3x+1
= e^(sin(x²)) · cos(x²) · 2x
三层链式法则：外层 eᵘ，中层 sin(v)，内层 v = x²
5. 三角函数导数
5.1 d/dx [sin x] = cos x
d/dx [sin x] = lim[h→0] (sin(x+h) - sin(x)) / h
利用和角公式：sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h
= lim[h→0] (sin x (cos h - 1) + cos x · sin h) / h
= sin x · lim[h→0] (cos h - 1)/h + cos x · lim[h→0] sin h / h
= sin x · 0 + cos x · 1 = cos x
关键极限：lim[h→0] sin(h)/h = 1（夹逼定理证明）和 lim[h→0] (cos h - 1)/h = 0。
5.2 d/dx [cos x] = -sin x
为什么：cos x = sin(π/2 - x)，利用链式法则：d/dx [sin(π/2 - x)] = cos(π/2 - x) · (-1) = -sin x。
全部六个三角函数导数
| f(x) | f'(x) | 推导方式 |
|---|---|---|
| sin x | cos x | 极限定义 + 夹逼定理 |
| cos x | -sin x | cos x = sin(π/2 - x) + 链式法则 |
| tan x | sec² x | tan = sin/cos + 商法则 |
| cot x | -csc² x | cot = cos/sin + 商法则 |
| sec x | sec x · tan x | sec = 1/cos + 链式法则 |
| csc x | -csc x · cot x | csc = 1/sin + 链式法则 |
d/dx [tan x] = d/dx [sin x / cos x]
= (cos x · cos x - sin x · (-sin x)) / cos²x
= (cos²x + sin²x) / cos²x = 1/cos²x = sec²x
6. 指数与对数函数导数
6.1 d/dx [eˣ] = eˣ
数学常数 e ≈ 2.71828 是欧拉（Euler, 1748 年）系统研究的。e 是唯一使得 d/dx [aˣ] = aˣ 成立的底数。换句话说，eˣ 是唯一"自身等于自身导数"的指数函数。这个性质使得 e 在微积分、概率论、复分析中无处不在。
e 的定义：e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ
6.2 d/dx [aˣ] = aˣ · ln a
d/dx [e^(x ln a)] = e^(x ln a) · ln a = aˣ · ln a
6.3 d/dx [ln x] = 1/x
设 y = ln x，则 x = eʸ。两边对 x 求导：
1 = eʸ · (dy/dx)
dy/dx = 1/eʸ = 1/x
6.4 d/dx [log_a(x)] = 1/(x · ln a)
推导：log_a(x) = ln(x)/ln(a)，因此 d/dx [log_a(x)] = (1/ln a) · (1/x) = 1/(x ln a)。
指数和对数导数汇总
| f(x) | f'(x) | 注意 |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | 唯一"自身等于导数"的函数 |
| aˣ (a > 0, a ≠ 1) | aˣ · ln a | 当 a = e 时退化为 eˣ |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| log_a(x) | 1/(x · ln a) | a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
7. 反三角函数导数
7.1 d/dx [arcsin x] = 1/√(1-x²)
设 y = arcsin x，则 sin y = x。两边对 x 求导：
cos y · (dy/dx) = 1
dy/dx = 1/cos y
由 sin²y + cos²y = 1 得 cos y = √(1 - sin²y) = √(1 - x²)
因此 dy/dx = 1/√(1 - x²)（取正根，因为 y ∈ [-π/2, π/2]，cos y ≥ 0）
反三角函数导数汇总
| f(x) | f'(x) | 定义域 |
|---|---|---|
| arcsin x | 1/√(1 - x²) | |x| < 1 |
| arccos x | -1/√(1 - x²) | |x| < 1 |
| arctan x | 1/(1 + x²) | 所有实数 |
| arccot x | -1/(1 + x²) | 所有实数 |
| arcsec x | 1/(|x|√(x² - 1)) | |x| > 1 |
| arccsc x | -1/(|x|√(x² - 1)) | |x| > 1 |
注意 arcsin 与 arccos 的导数互为相反数。这是因为 arcsin x + arccos x = π/2（常数），对常数求导得 0。
8. 隐函数求导
当 y 不能显式地写成 x 的函数时（如圆 x² + y² = r²），我们使用隐函数求导：把 y 视为 x 的函数，对等式两边同时对 x 求导，然后解出 dy/dx。
示例：圆 x² + y² = r²
2x + 2y · (dy/dx) = 0
dy/dx = -x/y
几何意义：圆上 (x, y) 处的切线斜率为 -x/y。在 (r, 0) 处斜率无穷大（竖直切线），在 (0, r) 处斜率为零（水平切线），完全符合直觉。
示例：x³ + y³ = 6xy
3x² + 3y² · (dy/dx) = 6y + 6x · (dy/dx)
(3y² - 6x) · (dy/dx) = 6y - 3x²
dy/dx = (6y - 3x²) / (3y² - 6x) = (2y - x²) / (y² - 2x)
9. 高阶导数
导数的导数叫做二阶导数，记作 f''(x) 或 d²y/dx²。它衡量的是变化率的变化率。
| 阶数 | 拉格朗日记号 | 莱布尼茨记号 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 一阶 | f'(x) | dy/dx | 斜率 / 速度 |
| 二阶 | f''(x) | d²y/dx² | 凹凸性 / 加速度 |
| 三阶 | f'''(x) | d³y/dx³ | 急动度（jerk） |
| n 阶 | f⁽ⁿ⁾(x) | dⁿy/dxⁿ | — |
凹凸性与拐点
f''(x) > 0：函数在该点"开口朝上"（凹），切线在曲线下方。
f''(x) < 0：函数在该点"开口朝下"（凸），切线在曲线上方。
拐点：f''(x) = 0 且凹凸性改变的点。
f'(x) = 3x²，f''(x) = 6x
f''(0) = 0 且 f'' 在 x=0 两侧变号 → x=0 是拐点。
10. 导数的应用
10.1 求极值（费马定理）
方法：令 f'(x) = 0 找到临界点，再用二阶导数检验：f''(c) > 0 为极小值，f''(c) < 0 为极大值。
f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x = ±1
f''(x) = 6x → f''(1) = 6 > 0（极小值），f''(-1) = -6 < 0（极大值）
10.2 相关变化率
当多个量随时间变化且有方程联系时，对方程两边关于 t 求导（隐函数求导），即可找到各变化率之间的关系。
V = (4/3)πr³ → dV/dt = 4πr² · (dr/dt) = 4π(25)(2) = 200π cm³/s
10.3 线性近似
f(4) = 2，f'(x) = 1/(2√x)，f'(4) = 1/4
√4.1 ≈ 2 + (1/4)(0.1) = 2.025（精确值 ≈ 2.02485）
10.4 洛必达法则
= lim[x→0] cos(x)/1 = cos(0) = 1
11. 相关参考
12. 常见问题 (FAQ)
乘积法则用于两个函数相乘 f(x)·g(x) 的导数；链式法则用于复合函数 f(g(x)) 的导数。例如 sin(x)·x² 用乘积法则，sin(x²) 用链式法则。分辨的关键是：函数之间是"乘"的关系还是"嵌套"的关系。
幂函数法则 d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹ 适用于底数是变量、指数是常数的情况。而 eˣ 是底数是常数、指数是变量的指数函数，规则完全不同。将 aˣ 写成 e^(x ln a) 再用链式法则才是正确做法。
当方程无法（或很难）把 y 显式地写成 x 的函数时，使用隐函数求导。典型例子：圆 x²+y²=r²、椭圆、以及任何 F(x,y)=0 形式的曲线。
二阶导数 f''(x) 描述曲线的弯曲方向（凹凸性）。f'' > 0 表示曲线向上弯（凹），f'' < 0 表示向下弯（凸）。在物理中，如果 f(t) 是位置，f'(t) 是速度，f''(t) 就是加速度。
可以，只要每次求导后仍然是 0/0 或 ∞/∞ 型。但每次使用前必须重新验证是否仍为不定式。常见错误是在非不定式时继续使用，这会得出错误结果。